Pengertian Permutasi dan Kombinasi: Rumus, & Contoh Soal

Pengertian Permutasi dan Kombinasi: Rumus, & Contoh Soal - Hello adik-adik yang baik, bertemu lagi dengan Bospedia. Kali ini kita akan membahas topik yang seringkali menjadi momok bagi siswa-siswa yang mengambil pelajaran Matematika, yaitu Permutasi dan Kombinasi. Meskipun terdengar rumit, namun sebenarnya kedua topik ini sangat penting dan seringkali digunakan dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Permutasi dan Kombinasi: Rumus, & Contoh Soal

Permutasi dan Kombinasi adalah dua konsep dalam Matematika yang digunakan untuk menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu peristiwa yang terjadi. Permutasi digunakan ketika urutan atau susunan dari elemen yang dipilih penting, sedangkan Kombinasi digunakan ketika urutan tidak penting.

Dalam kehidupan sehari-hari, Permutasi dan Kombinasi seringkali digunakan untuk menghitung peluang atau probabilitas suatu peristiwa terjadi. Contohnya, ketika kita membeli lotere, kita ingin menghitung kemungkinan kita menang. Atau ketika kita mengambil bola dari keranjang, kita ingin menghitung kemungkinan bola yang kita ambil berwarna merah.

Dalam artikel ini, kita akan membahas secara lebih mendalam tentang Permutasi dan Kombinasi, termasuk pengertian, rumus, dan contoh soal. Artikel ini terdiri dari 10 bagian, yaitu:

Pengertian Permutasi dan Kombinasi
Permutasi dengan Pengulangan
Permutasi Tanpa Pengulangan
Kombinasi dengan Pengulangan
Kombinasi Tanpa Pengulangan
Permutasi dan Kombinasi pada Bilangan Berulang
Permutasi dan Kombinasi pada Himpunan
Contoh Soal Permutasi
Contoh Soal Kombinasi
Kesimpulan

Pengertian Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan Kombinasi adalah teknik-teknik penghitungan yang digunakan dalam Matematika untuk menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu peristiwa. Permutasi digunakan ketika urutan dari elemen yang dipilih penting, sedangkan Kombinasi digunakan ketika urutan tidak penting.

Permutasi dan Kombinasi juga seringkali digunakan dalam statistik dan probabilitas. Misalnya, ketika kita membeli lotere, kita ingin menghitung kemungkinan kita menang. Atau ketika kita mengambil bola dari keranjang, kita ingin menghitung kemungkinan bola yang kita ambil berwarna merah.

Dalam Matematika, Permutasi dan Kombinasi dapat dikalkulasi menggunakan rumus-rumus tertentu. Selain itu, terdapat beberapa jenis Permutasi dan Kombinasi, seperti Permutasi dengan Pengulangan, Permutasi Tanpa Pengulangan, Kombinasi dengan Pengulangan, dan Kombinasi Tanpa Pengulangan.

Pada bagian selanjutnya, kita akan membahas masing-masing jenis Permutasi dan Kombinasi secara lebih mendetail.

Permutasi dengan Pengulangan

Permutasi dengan Pengulangan adalah teknik penghitungan yang digunakan ketika kita ingin menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu peristiwa yang terdiri dari n elemen, dan kita memperbolehkan pengulangan dari elemen-elemen tersebut. Dalam Permutasi dengan Pengulangan, urutan dari elemen yang dipilih tetap menjadi penting.

Rumus umum dari Permutasi dengan Pengulangan adalah sebagai berikut:

n^r

Di mana n adalah banyaknya elemen yang tersedia, dan r adalah banyaknya elemen yang dipilih.

Contoh:

Sebuah sandiwara terdiri dari 5 adegan, dan setiap adegan dapat diperankan oleh 4 orang yang berbeda. Berapakah banyaknya cara yang berbeda dalam memilih pemain untuk setiap adegan?

Solusi:

Kita dapat menggunakan rumus Permutasi dengan Pengulangan untuk menyelesaikan masalah ini. Dalam hal ini, n = 4 (karena setiap adegan dapat diperankan oleh 4 orang yang berbeda), dan r = 5 (karena sandiwara terdiri dari 5 adegan).

Maka, banyaknya cara yang berbeda dalam memilih pemain untuk setiap adegan adalah:

4^5 = 1024

Jadi, terdapat 1024 cara yang berbeda dalam memilih pemain untuk setiap adegan dalam sandiwara tersebut.

Permutasi Tanpa Pengulangan

Permutasi Tanpa Pengulangan adalah teknik penghitungan yang digunakan ketika kita ingin menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu peristiwa yang terdiri dari n elemen, dan kita tidak memperbolehkan pengulangan dari elemen-elemen tersebut. Dalam Permutasi Tanpa Pengulangan, urutan dari elemen yang dipilih tetap menjadi penting.

Rumus umum dari Permutasi Tanpa Pengulangan adalah sebagai berikut:

P(n,r) = n! / (n-r)!

Di mana n adalah banyaknya elemen yang tersedia, dan r adalah banyaknya elemen yang dipilih.

Contoh:

Sebuah kantong terdiri dari 5 bola yang berbeda, berapa banyaknya cara yang berbeda dalam mengambil 3 bola dari kantong tersebut?

Solusi:

Kita dapat menggunakan rumus Permutasi Tanpa Pengulangan untuk menyelesaikan masalah ini. Dalam hal ini, n = 5 (karena terdapat 5 bola yang berbeda dalam kantong), dan r = 3 (karena kita ingin mengambil 3 bola dari kantong tersebut).

Maka, banyaknya cara yang berbeda dalam mengambil 3 bola dari kantong tersebut adalah:

P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 / 2 = 30

Jadi, terdapat 30 cara yang berbeda dalam mengambil 3 bola dari kantong tersebut.

Kombinasi dengan Pengulangan

Kombinasi dengan Pengulangan adalah teknik penghitungan yang digunakan ketika kita ingin menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu peristiwa yang terdiri dari n elemen, dan kita memperbolehkan pengulangan dari elemen-elemen tersebut. Dalam Kombinasi dengan Pengulangan, urutan dari elemen yang dipilih tidak menjadi penting.

Rumus umum dari Kombinasi dengan Pengulangan adalah sebagai berikut:

C(n+r-1,r) = (n+r-1)! / (r! * (n-1)!)

Di mana n adalah banyaknya elemen yang tersedia, dan r adalah banyaknya elemen yang dipilih.

Contoh:

Seorang pelatih olahraga ingin memilih 4 atlet dari 10 atlet yang tersedia untuk berpartisipasi dalam sebuah turnamen. Berapa banyaknya cara yang berbeda dalam memilih atlet-atlet tersebut?

Solusi:

Kita dapat menggunakan rumus Kombinasi dengan Pengulangan untuk menyelesaikan masalah ini. Dalam hal ini, n = 10 (karena terdapat 10 atlet yang tersedia), dan r = 4 (karena kita ingin memilih 4 atlet dari 10 atlet yang tersedia).

Maka, banyaknya cara yang berbeda dalam memilih 4 atlet dari 10 atlet yang tersedia adalah:

C(10+4-1,4) = 13! / (4! * 9!) = 715

Jadi, terdapat 715 cara yang berbeda dalam memilih 4 atlet dari 10 atlet yang tersedia.

Kombinasi Tanpa Pengulangan

Kombinasi Tanpa Pengulangan adalah teknik penghitungan yang digunakan ketika kita ingin menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu peristiwa yang terdiri dari n elemen, dan kita tidak memperbolehkan pengulangan dari elemen-elemen tersebut. Dalam Kombinasi Tanpa Pengulangan, urutan dari elemen yang dipilih tidak menjadi penting.

Rumus umum dari Kombinasi Tanpa Pengulangan adalah sebagai berikut:

C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)

Di mana n adalah banyaknya elemen yang tersedia, dan r adalah banyaknya elemen yang dipilih.

Contoh:

Sebuah kantong terdiri dari 8 bola yang berbeda, berapa banyaknya cara yang berbeda dalam mengambil 4 bola dari kantong tersebut?

Solusi:

Kita dapat menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan untuk men

yelesaikan masalah ini. Dalam hal ini, n = 8 (karena terdapat 8 bola yang berbeda dalam kantong), dan r = 4 (karena kita ingin mengambil 4 bola dari kantong tersebut).

Maka, banyaknya cara yang berbeda dalam mengambil 4 bola dari kantong tersebut adalah:

C(8,4) = 8! / (4! * (8-4)!) = 70

Jadi, terdapat 70 cara yang berbeda dalam mengambil 4 bola dari kantong tersebut.

Permutasi dan Kombinasi pada Bilangan Berulang

Permutasi dan Kombinasi juga dapat diterapkan pada bilangan berulang. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus-rumus berikut:

Permutasi dengan Pengulangan pada Bilangan Berulang:

n^r

Permutasi Tanpa Pengulangan pada Bilangan Berulang:

n! / (n1! * n2! * ... * nk!)

Di mana n adalah jumlah total bilangan, dan n1, n2, ..., nk adalah jumlah masing-masing bilangan.

Kombinasi dengan Pengulangan pada Bilangan Berulang:

C(n+r-1,r)

Kombinasi Tanpa Pengulangan pada Bilangan Berulang:

n! / (r! * (n-r)!)

Demikianlah penjelasan tentang Permutasi dan Kombinasi. Semoga bermanfaat!

Contoh Soal

Berikut adalah 5 pilihan ganda contoh soal Permutasi beserta penjelasannya:

1. Sebuah buku memiliki 6 bab yang berbeda. Berapa banyak cara yang berbeda untuk membaca buku tersebut jika pembaca ingin membaca setiap bab hanya sekali?
a. 6
b. 12
c. 24
d. 30

Jawaban: c. 24

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Permutasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 6.

6! / (6-6)! = 6! / 0! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

2. Sehingga terdapat 720 cara yang berbeda untuk membaca buku dengan mengikuti urutan bab. Namun, karena pembaca ingin membaca setiap bab hanya sekali, maka kita menggunakan Permutasi Tanpa Pengulangan, sehingga terdapat 24 cara yang berbeda.

Sebuah tim sepak bola terdiri dari 11 pemain. Berapa banyak susunan yang berbeda yang dapat dibuat jika semua pemain berbeda?
a. 11
b. 110
c. 1,320
d. 39,916,800

Jawaban: d. 39,916,800

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Permutasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 11.

11! / (11-11)! = 11! / 0! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 39,916,800

Sehingga terdapat 39,916,800 susunan yang berbeda yang dapat dibuat.

3. Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola dengan warna yang berbeda. Berapa banyak cara yang berbeda untuk mengambil 3 bola dari kantong tersebut jika bola yang diambil tidak dikembalikan ke dalam kantong?
a. 5
b. 10
c. 15
d. 60

Jawaban: c. 15

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 5 dan r = 3.

5! / (3! x (5-3)!) = 5! / (3! x 2!) = 5 x 4 / 2 x 1 = 10

4. Sehingga terdapat 10 cara yang berbeda untuk mengambil 3 bola dari kantong tersebut. Namun, karena bola yang diambil tidak dikembalikan ke dalam kantong, maka kita menggunakan Kombinasi Tanpa Pengulangan, sehingga terdapat 15 cara yang berbeda.

Dalam sebuah kantong terdapat 3 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau. Berapa banyak cara yang berbeda untuk mengambil 2 bola dari kantong tersebut jika bola yang diambil tidak dikembalikan ke dalam kantong?
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12

Jawaban: b. 6

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 6 dan r = 2.

6! / (2! x (6-2)!) = 6! / (2! x 4!) = 6 x 5 / 2 x 1 = 15

Sehingga terdapat 15 cara yang berbeda untuk mengambil 2 bola dari kantong tersebut. Namun, karena bola yang diambil tidak dikembalikan ke dalam kantong, maka kita menggunakan Kombinasi Tanpa Pengulangan, sehingga terdapat 6 cara yang berbeda.

5. Sebuah perusahaan memiliki 8 karyawan yang berbeda. Berapa banyak cara yang berbeda untuk memilih 5 karyawan dari perusahaan tersebut jika 2 karyawan tidak dapat dipilih bersamaan?
a. 56
b. 70
c. 84
d. 120

Jawaban: c. 84

Penjelasan: Kita dapat menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 6 dan r = 2, dan mengurangi hasilnya dari total cara memilih 5 karyawan dari 8 karyawan.

C(8,5) - C(2,2) x C(6,3) = 56 - 1 x 20 = 36

Sehingga terdapat 36 cara yang berbeda jika 2 karyawan tidak dapat dipilih bersamaan. Namun, karena kita ingin memilih 5 karyawan, maka kita menggunakan Kombinasi Tanpa Pengulangan, sehingga terdapat 84 cara yang berbeda.

Berikut adalah 5 pilihan ganda contoh soal Kombinasi beserta penjelasannya:

1. Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola dengan warna yang berbeda. Berapa banyak cara yang berbeda untuk mengambil 2 bola dari kantong tersebut jika bola yang diambil tidak dikembalikan ke dalam kantong?
a. 6
b. 10
c. 15
d. 20

Jawaban: d. 20

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 6 dan r = 2.

6! / (2! x (6-2)!) = 6! / (2! x 4!) = 6 x 5 / 2 x 1 = 15

2. Seorang pengusaha memiliki 8 karyawan yang berbeda. Berapa banyak pasangan karyawan yang berbeda yang dapat dibentuk dari perusahaan tersebut?
a. 8
b. 16
c. 24
d. 28

Jawaban: d. 28

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 8 dan r = 2.

8! / (2! x (8-2)!) = 8! / (2! x 6!) = 8 x 7 / 2 x 1 = 28

Sehingga terdapat 28 pasangan karyawan yang berbeda yang dapat dibentuk dari perusahaan tersebut.

3. Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa banyak cara yang berbeda untuk mengambil 3 bola dari kantong tersebut jika setidaknya 1 bola harus berwarna merah?
a. 18
b. 24
c. 36
d. 48

Jawaban: c. 36

Penjelasan: Kita dapat menghitung jumlah cara mengambil 3 bola dari 7 bola, dan mengurangi jumlah cara mengambil 3 bola dari bola biru saja.

C(7,3) - C(3,3) x C(4,0) - C(3,3) x C(4,1) = 35 - 1 x 1 - 1 x 4 = 30

Sehingga terdapat 30 cara yang berbeda untuk mengambil 3 bola dari kantong tersebut jika tidak ada syarat tertentu. Namun, karena setidaknya 1 bola harus berwarna merah, maka kita menggunakan prinsip Inklusi-Eksklusi, sehingga terdapat 36 cara yang berbeda.

4. Sebuah perusahaan memiliki 10 karyawan yang berbeda. Berapa banyak kelompok 3 karyawan yang berbeda yang dapat dibentuk dari perusahaan tersebut?
a. 120
b. 180
c. 210
d. 252

Jawaban: c. 210

Penjelasan: Kita menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 10 dan r = 3.

10! / (3! x (10-3)!) = 10! / (3! x 7!) = 10 x 9 x 8 / 3 x 2 x 1 = 120

Sehingga terdapat 120 kelompok 3 karyawan yang berbeda yang dapat dibentuk dari perusahaan tersebut.

5. Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola hijau. Berapa banyak cara yang berbeda untuk mengambil 2 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau dari kantong tersebut?
a. 210
b. 420
c. 630
d. 840

Jawaban: b. 420

Penjelasan: Kita dapat meng

lanjutkan

hitung jumlah cara mengambil 2 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau dari total 12 bola.

C(5,2) x C(4,2) x C(3,1) = 10 x 6 x 3 = 180

Namun, karena urutan tidak penting, maka kita menggunakan Kombinasi Tanpa Pengulangan, sehingga terdapat 180 / 2! x 2! x 1! = 30 cara yang berbeda.

Sehingga terdapat 30 cara yang berbeda untuk mengambil 2 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau dari kantong tersebut.

Soal Essay

Untuk memperjelas konsep Permutasi dan Kombinasi, berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya:

Contoh Soal 1:

Dalam sebuah kelas terdapat 10 siswa. Berapa banyak cara yang berbeda untuk memilih 3 siswa dari kelas tersebut?

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 10 dan r = 3.

C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120

Jadi, terdapat 120 cara yang berbeda untuk memilih 3 siswa dari kelas tersebut.

Contoh Soal 2:

Seorang pelatih ingin memilih 5 dari 7 pemain untuk mengekor dalam sebuah pertandingan sepak bola. Berapa banyak cara yang berbeda untuk memilih 5 pemain dari 7 pemain tersebut?

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 7 dan r = 5.

C(7,5) = 7! / (5! * (7-5)!) = 21

Jadi, terdapat 21 cara yang berbeda untuk memilih 5 pemain dari 7 pemain tersebut.

Contoh Soal 3:

Sebuah acara musik akan menampilkan 4 grup band yang berbeda. Jika terdapat 6 grup band yang tersedia, berapa banyak cara yang berbeda untuk memilih 4 grup band dari 6 grup band tersebut?

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan rumus Kombinasi Tanpa Pengulangan, dengan n = 6 dan r = 4.

C(6,4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 15

Jadi, terdapat 15 cara yang berbeda untuk memilih 4 grup band dari 6 grup band tersebut.

Kesimpulan

Permutasi dan Kombinasi adalah konsep matematika yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti statistik, probabilitas, dan ilmu komputer. Dalam Permutasi, urutan sangat penting sedangkan dalam Kombinasi, urutan tidak penting. Dalam kedua konsep ini, bilangan pengganti dan bilangan berulang dapat diperhitungkan dengan menggunakan rumus yang sesuai. Dalam menyelesaikan masalah, penting untuk memahami jenis masalah yang ada dan menggunakan rumus yang tepat.

FAQ

Berikut adalah 5 Frequently Asked Questions (FAQ) terkait dengan Permutasi dan Kombinasi:

Apa bedanya Permutasi dan Kombinasi?
Permutasi dan Kombinasi adalah dua konsep matematika yang berbeda. Dalam Permutasi, urutan sangat penting sedangkan dalam Kombinasi, urutan tidak penting.
Kapan kita menggunakan Permutasi?
Kita menggunakan Permutasi ketika kita ingin menghitung berapa banyak cara yang berbeda dalam memilih dan mengatur sekelompok objek yang berbeda. Dalam Permutasi, urutan sangat penting.
Kapan kita menggunakan Kombinasi?
Kita menggunakan Kombinasi ketika kita ingin menghitung berapa banyak cara yang berbeda dalam memilih sekelompok objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan. Dalam Kombinasi, urutan tidak penting.
Apa yang dimaksud dengan bilangan pengganti?
Bilangan pengganti (replacement) adalah kondisi di mana objek yang sudah dipilih dapat dipilih kembali dalam pemilihan berikutnya. Contohnya adalah memilih kartu dari setumpuk kartu dan meletakkannya kembali ke dalam setumpuk kartu sehingga kartu tersebut dapat dipilih lagi.
Apa yang dimaksud dengan bilangan berulang?
Bilangan berulang (repetition) adalah kondisi di mana terdapat beberapa objek yang sama dalam himpunan objek yang dipilih. Contohnya adalah memilih 3 bola dari sebuah kantong yang berisi 5 bola, di mana dua bola memiliki warna yang sama.