Pengertian Turunan: Macam, Rumus, & Contoh Soal - Hello adik-adik yang baik, bertemu lagi dengan Bospedia! Kali ini kita akan membahas topik yang cukup penting dalam matematika, yaitu turunan. Turunan adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus, yang sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, fisika, dan lain sebagainya. Dalam artikel ini, kita akan membahas pengertian, macam-macam turunan, rumus-rumus yang terkait, serta contoh soal untuk memperjelas pemahaman kita.

Pengertian Turunan: Macam, Rumus, & Contoh Soal

Turunan dapat diartikan sebagai perubahan laju perubahan suatu fungsi dalam suatu titik tertentu. Dalam kata lain, turunan adalah ukuran seberapa cepat sebuah fungsi berubah pada titik tertentu. Misalnya, jika kita memiliki sebuah fungsi yang menggambarkan pergerakan suatu benda, maka turunan dari fungsi tersebut akan memberikan informasi tentang kecepatan benda pada suatu saat tertentu.

Turunan sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, seperti mencari nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi, mencari titik infleksi, atau menentukan kecepatan atau percepatan dari suatu benda. Oleh karena itu, pemahaman yang baik tentang konsep turunan sangat penting dalam memecahkan masalah matematika yang lebih kompleks.

Ada beberapa macam turunan yang umum digunakan, seperti turunan pertama, turunan kedua, turunan parsial, dan turunan implisit. Turunan pertama adalah turunan yang menghitung perubahan laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu. Turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama, yang menghitung perubahan laju perubahan fungsi pada suatu titik tertentu. Sedangkan, turunan parsial dan turunan implisit digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi yang terdiri dari beberapa variabel.

Berikut adalah daftar isi untuk artikel ini:

Pengertian Turunan
Macam-Macam Turunan
Rumus Turunan
Contoh Soal Turunan
Aplikasi Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari
Integral Sebagai Kebalikan dari Turunan
Aturan-Aturan Turunan
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritmik
Turunan Fungsi Komposit

Pengertian Turunan

Turunan adalah konsep dasar dalam kalkulus yang digunakan untuk menghitung perubahan laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu. Dalam kata lain, turunan adalah ukuran seberapa cepat sebuah fungsi berubah pada suatu titik tertentu. Turunan sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, seperti mencari nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi, mencari titik infleksi, atau menentukan kecepatan atau percepatan dari suatu benda.

Macam-Macam Turunan

Dalam kalkulus, terdapat beberapa macam turunan yang dapat dihitung. Beberapa macam turunan tersebut antara lain:

a. Turunan Fungsi Biasa

Turunan fungsi biasa adalah turunan dari fungsi-fungsi matematika yang umum, seperti polinomial, trigonometrik, eksponensial, dan logaritmik.

b. Turunan Fungsi Implisit

Turunan fungsi implisit adalah turunan dari fungsi yang dinyatakan secara implisit dalam bentuk persamaan, misalnya x^2 + y^2 = 25.

c. Turunan Parsial

Turunan parsial adalah turunan dari fungsi-fungsi multivariabel, di mana hanya satu variabel yang diturunkan, sedangkan variabel lainnya dianggap tetap.

d. Turunan Berarah

Turunan berarah adalah turunan dari fungsi vektor, di mana turunan dinyatakan sebagai vektor dengan arah tertentu.

Rumus Turunan

Rumus turunan merupakan aturan-aturan yang digunakan untuk menghitung turunan dari berbagai macam fungsi. Beberapa rumus turunan yang penting dalam kalkulus antara lain:

a. Aturan Turunan Fungsi Biasa

Aturan turunan fungsi biasa adalah sebagai berikut:

Turunan dari konstanta adalah nol: d/dx(c) = 0
Turunan dari x^n adalah nx^(n-1): d/dx(x^n) = nx^(n-1)
Turunan dari sin(x) adalah cos(x): d/dx(sin(x)) = cos(x)
Turunan dari cos(x) adalah -sin(x): d/dx(cos(x)) = -sin(x)
Turunan dari e^x adalah e^x: d/dx(e^x) = e^x
Turunan dari ln(x) adalah 1/x: d/dx(ln(x)) = 1/x

b. Aturan Turunan Fungsi Implisit

Aturan turunan fungsi implisit adalah sebagai berikut:

Turunan dari y terhadap x dari persamaan f(x,y) = 0 adalah -f_x(x,y)/f_y(x,y), di mana f_x dan f_y adalah turunan parsial dari fungsi f terhadap x dan y masing-masing.

c. Aturan Turunan Parsial

Aturan turunan parsial adalah sebagai berikut:

Untuk menghitung turunan parsial f terhadap x, variabel y dianggap tetap dan turunan dihitung seperti turunan biasa.
Untuk menghitung turunan parsial f terhadap y, variabel x dianggap tetap dan turunan dihitung seperti turunan biasa.

d. Aturan Turunan Berarah

Aturan turunan berarah adalah sebagai berikut:

Turunan berarah dari fungsi vektor f = (f1, f2, f3) terhadap variabel x adalah vektor dengan komponen-komponen turunan parsial dari fungsi-fungsi tersebut terhadap variabel x.

Dengan memahami aturan-aturan turunan ini, kita dapat menghitung turunan dari berbagai macam fungsi dengan lebih mudah dan cepat. Turunan sangat berguna dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika yang melibatkan perubahan dan pertumbuhan, sehingga menjadi dasar penting dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

Integral Sebagai Kebalikan dari Turunan

Salah satu konsep penting dalam kalkulus adalah integral, yang merupakan kebalikan dari turunan. Integral digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva suatu fungsi. Dalam kata lain, integral adalah operasi yang digunakan untuk membalikkan efek turunan. Integral juga sering digunakan dalam kalkulus untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika, seperti mencari luas permukaan suatu benda, menghitung volume suatu benda, atau menentukan kemiringan suatu kurva.

Dalam kalkulus, terdapat dua jenis integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral tak tentu (atau antiturunan) adalah kebalikan dari turunan, dan dituliskan sebagai ∫f(x) dx. Integral tak tentu dapat dihitung dengan menggunakan aturan-aturan integral, yang merupakan kebalikan dari aturan-aturan turunan. Sedangkan integral tentu adalah integral yang memiliki batas atas dan batas bawah tertentu, dan dituliskan sebagai ∫a^b f(x) dx. Integral tentu dapat dihitung dengan menggunakan aturan-aturan integral, seperti aturan substitusi atau aturan perbandingan.

Aturan-Aturan Turunan

Ada beberapa aturan turunan yang penting dalam kalkulus, di antaranya adalah aturan turunan fungsi komposit, aturan turunan fungsi invers, aturan turunan fungsi eksponensial, aturan turunan fungsi logaritmik, dan aturan turunan fungsi trigonometrik. Aturan-aturan turunan ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika yang melibatkan turunan.

Aturan turunan fungsi komposit digunakan ketika ingin menghitung turunan dari suatu fungsi yang terdiri dari fungsi-fungsi lain. Aturan turunan fungsi invers digunakan untuk menghitung turunan dari suatu fungsi invers. Aturan turunan fungsi eksponensial dan logaritmik digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi-fungsi eksponensial dan logaritmik. Sedangkan aturan turunan fungsi trigonometrik digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi-fungsi trigonometrik.

Aturan-aturan turunan merupakan kumpulan formula yang digunakan untuk menghitung turunan dari berbagai macam fungsi. Beberapa aturan turunan yang paling dasar adalah sebagai berikut:

Aturan turunan dari konstanta
Turunan dari konstanta adalah nol. Jika f(x) = c, maka f'(x) = 0.
Aturan turunan dari x^n
Turunan dari x^n adalah nx^(n-1). Jika f(x) = x^n, maka f'(x) = nx^(n-1).
Aturan turunan dari fungsi eksponensial
Turunan dari fungsi eksponensial e^x adalah e^x. Jika f(x) = e^x, maka f'(x) = e^x.
Aturan turunan dari fungsi logaritmik
Turunan dari fungsi logaritmik ln(x) adalah 1/x. Jika f(x) = ln(x), maka f'(x) = 1/x.
Aturan turunan dari fungsi trigonometrik
Turunan dari fungsi sin(x) adalah cos(x), turunan dari cos(x) adalah -sin(x), dan turunan dari tan(x) adalah sec^2(x).

Aplikasi Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari

Turunan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Beberapa contoh aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari antara lain:

a. Fisika

Dalam fisika, turunan digunakan untuk menghitung percepatan, kecepatan, dan posisi benda yang bergerak. Misalnya, turunan dari posisi terhadap waktu adalah kecepatan, sedangkan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Turunan juga dapat digunakan untuk menghitung gaya dan momentum.

b. Ekonomi

Dalam ekonomi, turunan digunakan untuk memodelkan perilaku konsumen dan produsen, dan untuk mengoptimalkan keuntungan. Misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung elastisitas permintaan, yaitu seberapa besar perubahan persentase permintaan terhadap perubahan persentase harga.

c. Teknik

Dalam teknik, turunan digunakan untuk merancang struktur bangunan, jembatan, dan mesin. Misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung momen inersia suatu benda, yang merupakan ukuran seberapa sulit suatu benda untuk berubah gerakannya.

d. Biologi

Dalam biologi, turunan digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi dan dinamika populasi. Misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan populasi suatu spesies, dan untuk memprediksi bagaimana populasi suatu spesies akan berubah seiring waktu.

Dengan begitu, aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas dan penting. Dalam banyak kasus, turunan digunakan untuk mengoptimalkan keuntungan dan meningkatkan efisiensi dalam berbagai bidang, sehingga memungkinkan kita untuk mencapai hasil yang lebih baik dan lebih efektif.

Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritmik

Fungsi eksponensial dan logaritmik adalah dua jenis fungsi yang sangat penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang. Kalkulus memungkinkan kita untuk menghitung turunan dari fungsi eksponensial dan logaritmik dengan mudah.

a. Turunan Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki bentuk umum y = a^x, dengan a adalah bilangan positif yang disebut basis eksponensial. Turunan dari fungsi eksponensial adalah:

dy/dx = a^x * ln(a)

dengan ln(a) adalah logaritma natural dari basis eksponensial a. Aturan turunan ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi eksponensial, seperti perhitungan kecepatan pertumbuhan populasi atau pertumbuhan bakteri.

b. Turunan Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik memiliki bentuk umum y = loga(x), dengan a adalah bilangan positif yang disebut basis logaritmik. Turunan dari fungsi logaritmik adalah:

dy/dx = 1 / (x * ln(a))

Aturan turunan ini sangat berguna dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi logaritmik, seperti perhitungan waktu paruh dalam fisika nuklir atau perhitungan suku bunga dalam keuangan.

Turunan Fungsi Komposit

Fungsi komposit adalah fungsi yang terdiri dari beberapa fungsi lain yang digabungkan. Misalnya, jika f(x) = sin(x^2), maka f(x) merupakan fungsi komposit dari fungsi sin dan fungsi kuadrat. Kalkulus memungkinkan kita untuk menghitung turunan dari fungsi komposit dengan menggunakan aturan turunan fungsi komposit.

Aturan turunan fungsi komposit adalah sebagai berikut:

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang dapat diturunkan, maka turunan dari f(g(x)) adalah:

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

Aturan ini dapat digunakan untuk menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang terdiri dari fungsi-fungsi lain yang digabungkan. Misalnya, jika f(x) = sin(x^2), maka kita dapat menggunakan aturan ini untuk menghitung turunan dari f(x):

f'(x) = cos(x^2) * 2x

Dengan menggunakan aturan turunan fungsi komposit, kita dapat menyelesaikan masalah-masalah matematika yang melibatkan fungsi komposit dengan lebih mudah dan cepat.

Demikianlah penjelasan mengenai turunan fungsi eksponensial dan logaritmik, serta turunan fungsi komposit dalam kalkulus. Dengan memahami konsep-konsep ini, kita dapat menghitung turunan dari berbagai macam fungsi dengan lebih mudah dan cepat, serta menyelesaikan masalah-masalah matematika yang melibatkan turunan.

Contoh Soal

Contoh soal turunan pilihan ganda

Berikut adalah 10 contoh soal turunan pilihan ganda beserta jawaban:

Hitung turunan dari fungsi f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 7.
a. f'(x) = 6x^2 + 8x - 3
b. f'(x) = 6x^2 - 8x - 3
c. f'(x) = 6x^2 + 8x + 3
d. f'(x) = 6x^2 - 8x + 3
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi g(x) = 3e^x - 2ln(x).
a. g'(x) = 3e^x + 2/x
b. g'(x) = 3e^x - 2/x
c. g'(x) = 3e^x + 1/x
d. g'(x) = 3e^x - 1/x
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi h(x) = sin(2x) + cos(3x).
a. h'(x) = 2cos(2x) - 3sin(3x)
b. h'(x) = 2cos(2x) + 3sin(3x)
c. h'(x) = 2sin(2x) - 3cos(3x)
d. h'(x) = 2sin(2x) + 3cos(3x)
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi f(x) = x^2 + 2x + 1.
a. f'(x) = x + 1
b. f'(x) = 2x + 2
c. f'(x) = 2x + 1
d. f'(x) = x + 2
Jawaban: c
Hitung turunan dari fungsi g(x) = 4x^2 - 3x^3 + 2x - 1.
a. g'(x) = 8x - 9x^2 + 2
b. g'(x) = 8x^2 - 9x^3 + 2
c. g'(x) = 8x - 9x^3 + 2
d. g'(x) = 8x^2 - 9x^2 + 2
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi h(x) = 5cos(2x) - sin(3x).
a. h'(x) = -10sin(2x) - 3cos(3x)
b. h'(x) = -10cos(2x) - 3sin(3x)
c. h'(x) = 10sin(2x) - 3cos(3x)
d. h'(x) = 10cos(2x) - 3sin(3x)
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi f(x) = e^x - ln(x).
a. f'(x) = e^x - 1/x
b. f'(x) = e^x + 1/x
c. f'(x) = e^x - 2/x
d. f'(x) = e^x + 2/x
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi g(x) = 2x^4 - 5x^2 + 3x - 1.
a. g'(x) = 8x^3 - 10x + 3
b. g'(x) = 8x^3 - 10x^2 + 3
c. g'(x) = 8x^3 - 10x^2 + 1
d. g'(x) = 8x^3 - 10x + 1
Jawaban: b
Hitung turunan dari fungsi h(x) = cos(x) + 2sin(x).
a. h'(x) = -sin(x) + 2cos(x)
b. h'(x) = -cos(x) + 2sin(x)
c. h'(x) = sin(x) + 2cos(x)
d. h'(x) = cos(x) + 2sin(x)
Jawaban: a
Hitung turunan dari fungsi f(x) = 5x^2 - 4x + 1.
a. f'(x) = 10x - 4
b. f'(x) = 10x - 6
c. f'(x) = 8x - 4
d. f'(x) = 8x - 6
Jawaban: a

Contoh soal turunan essay

Berikut adalah 5 contoh soal turunan essay beserta pembahasannya:

1. Hitung turunan dari fungsi f(x) = x^4 + 2x^2 - 5x + 7.

Jawaban:
f'(x) = 4x^3 + 4x - 5

Pembahasan:
Untuk menghitung turunan dari fungsi f(x), kita menggunakan aturan turunan fungsi biasa. Turunan dari x^4 adalah 4x^3, turunan dari 2x^2 adalah 4x, dan turunan dari -5x adalah -5. Karena konstanta memiliki turunan nol, maka turunan dari konstanta 7 adalah nol. Maka turunan dari f(x) adalah f'(x) = 4x^3 + 4x - 5.

2. Hitung turunan dari fungsi g(x) = e^(2x) + ln(x).

Jawaban:
g'(x) = 2e^(2x) + 1/x

Pembahasan:
Untuk menghitung turunan dari fungsi g(x), kita menggunakan aturan turunan fungsi eksponensial dan logaritmik. Turunan dari e^(2x) adalah 2e^(2x), dan turunan dari ln(x) adalah 1/x. Maka turunan dari g(x) adalah g'(x) = 2e^(2x) + 1/x.

3. Hitung turunan parsial dari fungsi f(x,y) = 2x^2y + 3xy^2 - 4x.

Jawaban:
f_x(x,y) = 4xy - 4
f_y(x,y) = 2x^2 + 6xy

Pembahasan:
Untuk menghitung turunan parsial dari fungsi f(x,y), kita menggunakan aturan turunan parsial. Untuk menghitung turunan parsial f terhadap x, variabel y dianggap tetap dan turunan dihitung seperti turunan biasa. Maka turunan parsial f terhadap x adalah f_x(x,y) = 4xy - 4. Untuk menghitung turunan parsial f terhadap y, variabel x dianggap tetap dan turunan dihitung seperti turunan biasa. Maka turunan parsial f terhadap y adalah f_y(x,y) = 2x^2 + 6xy.

4. Hitung turunan dari fungsi h(x) = tan(x) + sec(x).

Jawaban:
h'(x) = sec^2(x) + sec(x)tan(x)

Pembahasan:
Untuk menghitung turunan dari fungsi h(x), kita menggunakan aturan turunan fungsi trigonometrik. Turunan dari tan(x) adalah sec^2(x), dan turunan dari sec(x) adalah sec(x)tan(x). Maka turunan dari h(x) adalah h'(x) = sec^2(x) + sec(x)tan(x).

5. Hitung turunan berarah dari fungsi vektor f(x,y) = (2x + y, x - 3y).

Jawaban:
Turunan berarah f terhadap x = (2, 1)
Turunan berarah f terhadap y = (1, -3)

Pembahasan:
Untuk menghitung turunan berarah dari fungsi vektor f(x,y), kita menghitung turunan parsial dari setiap komponen fungsi terhadap variabel x dan y. Turunan berarah dari f terhadap x adalah vektor dengan komponen-komponen turunan parsial dari fungsi-fungsi tersebut terhadap variabel x. Jadi, turunan berarah f terhadap x adalah (2,1). Demikian pula, turunan berarah f terhadap y adalah vektor dengan komponen-komponen turunan parsial dari fungsi-fungsi tersebut terhadap variabel y. Jadi, turunan berarah f terhadap y adalah (1,-3).

Dengan memahami aturan-aturan turunan ini, kita dapat menghitung turunan dari berbagai macam fungsi dengan lebih mudah dan cepat. Penting untuk memahami konsep turunan dalam kalkulus karena turunan digunakan dalam berbagai bidang seperti fisika, matematika, teknik, dan ekonomi.

Sebagai tambahan, untuk mencari turunan berarah f terhadap arah vektor v = (a,b), kita dapat mengalikan vektor v dengan turunan berarah f terhadap x dan turunan berarah f terhadap y, kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut. Dengan demikian, turunan berarah f terhadap arah v adalah vektor v . f'(x,y) = a*(2,1) + b*(1,-3).

Kesimpulan

Dalam kalkulus, terdapat dua konsep penting, yaitu turunan dan integral. Turunan digunakan untuk menghitung perubahan suatu fungsi, sedangkan integral digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva suatu fungsi. Kalkulus memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, ekonomi, dan biologi. Aturan-aturan turunan juga sangat berguna dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika yang melibatkan turunan. Oleh karena itu, kalkulus merupakan salah satu konsep matematika yang sangat penting dan berguna.

FAQ

Berikut adalah beberapa pertanyaan yang sering diajukan tentang turunan dalam kalkulus:

Apa itu turunan? Turunan adalah konsep matematika yang menyatakan perubahan suatu fungsi terhadap variabel inputnya.
Apa kegunaan turunan dalam kalkulus? Turunan digunakan dalam kalkulus untuk menghitung laju perubahan suatu fungsi, misalnya dalam menghitung kecepatan, percepatan, atau pertumbuhan.
Apa perbedaan antara turunan dan integral? Turunan dan integral adalah kebalikan satu sama lain. Turunan menyatakan laju perubahan suatu fungsi, sedangkan integral menghitung luas di bawah kurva fungsi.
Apa aturan turunan yang paling dasar? Aturan turunan yang paling dasar adalah turunan dari konstanta, turunan dari x^n, dan turunan dari fungsi eksponensial dan logaritmik.
Apa aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari? Aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari antara lain dalam fisika, ekonomi, teknik, dan biologi.